Классификация бинарных квазиканонических систем счисления в мнимых квадратичных полях
Богданов П.С., Чернов В.М.

Аннотация:
В работе рассматриваются все возможные бинарные квазиканонические системы счисления в мнимых квадратичных полях. Для представления целых алгебраических чисел мнимых квадратичных полей в указанных системах счисления используется алгоритм, основанный на делении с остатком. Кроме того, синтезируются алгоритмы реализации основных арифметических операций над числами в рассматриваемых системах счисления.

Ключевые слова :
каноническая система счисления, деление с остатком по норме, квазиканоническая система счисления, мнимые квадратичные поля.

Литература:

  1. Grunwald, V. Intorno all'aritmetica dei sistemi numerici a base negativa con particolare riguardo al sistema numerico a base negativo-decimale per lo studio delle sue analogie coll'aritmetica ordinaria (decimale) / V. Grunvald // Giornale di matematiche di Battaglini. – 1885 – N 23 – P. 203-221.
  2. Knuth, D. E. The Art of Computer Programming. Vol. 2 Semi-numerical Algorithms / D.E. Knuth. – 3rd edition. – London: Addison Wesley, 1998.
  3. Katai, I. Canonical number systems for complex integers / I. Katai, J. Szabo // Acta Sci. Math. (Szeged). – 1975. – Vol. 37 – P. 255-260.
  4. Kovacs, B. Canonical number systems in algebraic number fields / B. Kovacs // Acta Math. Hungar. – 1981. – Vol. 37. – P. 405-407.
  5. Katai, I. Kanonische Zahlensysteme in der Theorie der Quadratischen Zahlen / I. Katai, B. Kovacs // Acta Sci. Math. (Szeged). – 1980. – Vol. 42 – P. 99-107.
  6. Katai, I. Canonical number systems in imaginary quadratic fields / I. Katai, B. Kovacs // Acta Math. Hungar. – 1981. – Vol. 37 – P. 159-164.
  7. Gilbert, W.J. Radix representations of quadratic fields / W.J. Gilbert // J. Math. Anal. Appl. – 1981. – Vol. 83 – P. 264-274.
  8. Akiyama, S. Topological properties of two-dimensional number systems / S. Akiyama, J.M. Thuswaldner // J. Th´eor. Nombres Bordeaux. – 2000. – Vol. 12. – P. 69-79.
  9. Akiyama, S. On the topological structure of fractal tilings generated by quadratic number systems / S. Akiyama, J.M. Thuswaldner // Comput. Math. Appl. – 2005. – Vol. 49, N 9-10 – P. 1439-1485.
  10. Katai, I. Number systems and fractal geometry / I. Katai – Jannus Pannonius University Pecs, 1995.
  11. Grochenig, K. Multiresolution analysis, Haar bases, and self-similar tilings of Rn. / K. Grochenig, W. R. Madych // IEEE Trans. Inform. Theory – 1992 – Vol. 38 – P. 556-568.
  12. Gilbert, W. J. Complex numbers with three radix representations / W. J. Gilbert // Canadian J. Math. – 1982. – Vol. 34 – P. 1335-1348.
  13. Indlekofer, K.-H. Some remarks on generalized number systems / K.-H. Indlekofer, I. Katai, P. Racsko // Acta Sci. Math. (Szeged) – 1993. – Vol. 57 – P. 543-553.
  14. Katai, I. On number systems in algebraic number fields / I. Katai, I. Kornyei // Publ. Math. Debrecen – 1992. – Vol. 41. – P. 289-294.
  15. Praggastis, B. Numeration systems and Markov partitions from self-similar tilings / B. Praggastis // Trans. Amer. Math. Soc. – 1999. – Vol. 351, N 8. – P. 3315-3349.
  16. Duvall, P. The Hausdorff dimension of the boundary of a self-similar tile / P. Duvall, J. Keesling, A. Vince // J. London Math. Soc. – 2000. – Vol. 61. – P. 748-760.
  17. Gilbert, W.J. Complex bases and fractal similarity / W.J. Gilbert // Ann. sc. math. Quebec. – 1987. – Vol. 11, N 1 – P. 65-77.
  18. Scheicher, K. Canonical number systems, counting automata and fractals / K. Scheicher, J.M. Thuswaldner // Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. – 2002. – Vol. 133, N 1. – P. 163-182.
  19. Veerman, J.J.P. Hausdorff dimension of boundaries of self-affine tiles in Rn. / J.J.P. Veerman // Bol. Mex. Mat. – 1998. – Vol. 3, N. 4. – P. 1-24.
  20. Wang, Y. Self-affine tiles / Y. Wang // Advances in Wavelet, Springer. – 1998. – P. 261-285.
  21. Solomyak, B. Dynamics of self-similar tilings / B. Solomyak // Ergodic Theory Dynam. Systems. – 1997. – Vol 17, N 3. – P. 695-738.
  22. Bratteli, O. Iterated function systems and permutation representations of the Cuntz algebra / O. Bratteli, P.E.T. Jorgensen // Mem. Amer. Math. Soc. – 1999. – Vol. 139, N 663.
  23. Wang, Y. Wavelets, tiling, and spectral sets / Y. Wang // Duke Math. J. – 2002. – Vol. 114, N 1 – P. 43-57.
  24. Боревич, З.И. Теория чисел / З.И. Боревич, И.Р. Шафаревич – М.: Наука, 1985. – 504 с.
  25. Чернов, В.М. Арифметические методы синтеза быстрых алгоритмов дискретных ортогональных преобразований / В.М. Чернов – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007 – 264 с.
  26. Kovacs, A. Generalized binary number system / A. Kovacs // Annales Univ. Sci. Budapest, Sect. Comp. – 2001. – Vol. 20 – P. 195-206.
  27. Богданов П.С. О представлении целых гауссовых чисел в системе счисления Пенни / П.С. Богданов // Компьютерная оптика. – 2010. – Т. 34, № 4. – С. 561-566.
  28. Fedoseev, V. Cryptography and Canonical Number Systems in Quadratic Fields / V. Fedoseev, V. Chernov // Machine Graphic & Vision. – 2006. – Vol. 15, N ¾. – P. 363-372.

© 2009, IPSI RAS
Institution of Russian Academy of Sciences, Image Processing Systems Institute of RAS, Russia, 443001, Samara, Molodogvardeyskaya Street 151; E-mail: ko@smr.ru; Phones: +7 (846) 332-56-22, Fax: +7 (846) 332-56-20